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Geometría de los cristales

 

La geometría de los cristales es necesaria para poder entender porque difractan los rayos X. Un cristal puede definirse como un sólido compuesto de átomos distribuidos según unas pautas periodicas en las tres direcciones del espacio. Un cristal se diferencia de un gas o un líquido en que en estos no hay orden ni periodicidad. No todos los sólidos son cristales, los hay amorfos (vidrio) y en estos no hay una distribución regular de los átomos. De hecho no hay diferencias esenciales entre un sólido amorfo y un líquido.

Retículos

Podemos olvidarnos de los átomos como tales y pensar en puntos imaginarios, a modo del esqueleto del cristal. Podemos considerar el espacio dividido en tres conjuntos de planos, cada uno de ellos constituido por planos paralelos y a igual distancia. Esta división del espacio producirá un conjunto de celdas identicas en tamaño, forma y orientación. Cada celda es un paralelepipedo y cada una un paralelogramo. Al interaccionar los planos se producen conjuntos de líneas y al hacerlo estas lineas lo harán en puntos. El conjunto de puntos así formado constituye el retículo puntual que se define como una ordenación de puntos en el espacio colocados de tal manera que cada punto tiene idénticos alrededores. Entendiendo por idénticos alrededores que el retículo cuando se mira en una dirección determinada a partir de un retículo puntual, tiene la misma apariencia cuando se mira en igual dirección desde cualquier otro retículo puntual.

Todas las celdas de un retículo son iguales y se puede elegir una a la que se llama celda unidad. El tamaño y forma de la celda unidad puede describirse con tres vectores a, b, c a los que se le llaman ejes cristalográficos de la celda porque la definen. Estos vectores pueden describirse en términos de longitudes (a,b,c) y ángulos . A estas longitudes y ángulos se les denomina constantes o parámetros de la celda unidad.

Sistemas cristalinos

Al dividir el espacio en tres conjuntos de planos se pueden obtener celdas de varias formas segun sea a, b, c o . Hay siete formas distintas de celdas que corresponden a los 7 sistemas cristalinos en los que puede incluirse cualquier cristal:

Sistema Longitudes y ángulos Retículo de Bravais Símbolo reticular
Cúbico 3 ejes iguales y ángulos rectos Simple P
Body centered I
a=b=c; Face centered F
Tetragonal 3 ejes en ángulo recto, 2 de ellos iguales Simple P
a=bc; Body centered I
Ortorrómbico 3 ejes desiguales y ángulos rectos Simple P
Body centered I
Base centered C
abc; Face centered F
Romboédrico o trigonal 3 ejes iguales, e igualmente inclinados Simple R
a=b=c;
Hexagonal 2 ejes coplanares a 120º, el 3º en ángulo recto Simple P
a=bc; ;
Monoclínico 3 ejes desiguales, un par no en ángulo recto Simple P
abc; Base centered C
Triclínico 3 ejes dediguales, inclinados desigualmente y ninguno en ángulo recto Simple P
abc;

Colocando puntos en los vértices de las celdas unidad de los 7 sistemas cristalinos, se obtienen 7 retículos puntuales diferentes. El cristalógrafo frances Bravais, en 1848 demostró que hay 14 retículos puntuales posibles y ninguno más, de ahí que el término retículo puntual se le conozca como retículo de Bravais.

Los símbolos P, F, I,... tienen los siguientes signidicados: celdas simples o primitivas (P) y no primitivas (cualquier otro símbolo). Las celdas primitivas tienen solo un punto reticular por celda y las no primitivas más de uno. Un punto reticular en el interior de la celda pertenece a esa celda, mientras que uno en una cara pertenece a dos celdas y en un vértice a 8. El número de puntos reticulares por celda es por tanto: N=Ni + Nf/2 + Nv/8; donde Ni es el número de puntos interiores, Nf el número de puntos en una cara, Nv el número de puntos en un vértice. Toda célula que tenga puntos reticulares solo en los vértices es primitiva mientras otra que tenga puntos adicionales es no primitiva. F se refiere a face cenetered e I a body centered. A, B, C se refieren a celdas base centered, centradas en un par de bases opuestas.

Simetría

4 operaciones macroscópicas: reflexión, inversión, rotación y rotación inversión. Las operaciones de simetría pueden aplicarse no solo a las celdas unidad, sino también a los retículos fundamentales asociados a ellas.

Celdas primitivas y no primitivas

La celda unidad no existe como tal en el retículo, es una cosntrucción mental y por tanto puede elegirse a conveniencia.

Direcciones y planos del retículo

Los distintos juegos de planos en un retículo tienen varios valores de espaciados interplanares. Los planos de espaciados mayores tienen menores índices, y pasa a traves de puntos reticulares de alta densidad, lo inverso ocurre con planos de espaciado pequeños.

Estructura cristalina

Los átomos de un cristal están dispuestos bien en los puntos de un retículo de Bravais bien en relaciones fijas respecto a esos puntos. Los átomos de un cristal se distribuirán periodicamente en las tres dimensiones y esta distribución de átomos de átomos exhibirá muchas propiedades de un retículo de Bravais, en particular muchos de sus elementos de simetría. Los cristales más sencillos que uno puede imaginar son aquellos que resultan de colocar átomos iguales en los puntos de la red de Bravais. No todos esos critales existen pero afortunadamente para los metalurgios muchos cristales cristalizan de manera sencilla: bcc (2 átomos por celda) y fcc (4 atomos por celda). El siguiente grado de complejidad cuando dos o más átomos están asociados con cada punto de la red de Bravais, de esta forma tenemos la hcp estructura común a muchos metales (2 átomos por celda) uno en (0,0,0) y otro en (2/3,1/3,1/2) o (1/3,2/3,1/2) que es una porción equivalente, En un hcp, la relación teórica c/a es 1,633. En realidad esta relación varía de 1,58 en el Be a 1,89 en el Cd. Como no hay razón para suponer que los átomos en estos cristales no están en contacto, deben ser elipsoidales, no esféricos.

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